Question

如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，OF⊥CD于F．
（1）求EF的長；
（2）求CD的長．

Answer 1

解：（1）∵AE=1cm，EB=5cm，
∴AB=1+5=6cm，
AO=×6=3cm，
∴EO=3-1=2cm．
又∵∠DEB=60°，
∴EF=EO•cos60°=2×=1cm．

（2）∵OF⊥CD，
∴CF=DF，
設(shè)CE=x，
則CF=DF=x+EF=x+1，
根據(jù)相交弦定理，AE•EB=CE•ED，
x（1+x+1）=1×5，
解得：x=-1±，
由于CE為正數(shù)，所以x=-1+，
所以CD=2×（-1++1）=2．
分析：（1）根據(jù)AE=1cm，EB=5cm求出⊙O的直徑，進而求出⊙O的半徑，從而求出OE的長，再在Rt△EOF中，利用三角函數(shù)求出EF的長；
（2）設(shè)出CE的長，又知道EF的長，根據(jù)垂徑定理表示出DF的長，從而得到CE、DE的長度表達式，再根據(jù)相交弦定理解答．
點評：此題將相交弦定理和垂徑定理結(jié)合起來，在解答時還要注意作出弦心距，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求出相關(guān)線段，以便于解答．