Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，點D為BC上一點，BD=2．過點D作射線DE交AC于點E，使∠ADE=∠B．
（1）求證：$\frac{AB}{AD}=\frac{DC}{DE}$；
（2）求線段EC的長度．

Answer 1

分析 （1）由條件可得到∠BAD=∠EDC，可證明△ABD∽△DCE，即可得到結論；
（2）由相似三角形的性質可得到$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，代入可求得EC．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC是△ABD的一個外角，
∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{DE}$；

（2）∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=4，
∴$\frac{8}{4}$=$\frac{2}{EC}$，
解得EC=1．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質，由條件得到∠BAD=∠DCE證得△ABD∽△DCE是解題的關鍵．