Question

3．如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0），交y軸于點(diǎn)A，
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）拋物線(xiàn)第一象限上有一動(dòng)點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，請(qǐng)求出MN+2ON的最大值，及此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為K，KI⊥x軸于I點(diǎn)，一塊三角板直角頂點(diǎn)P在線(xiàn)段KI上滑動(dòng)，且一直角邊過(guò)A點(diǎn)，另一直角邊與x軸交于Q（m，0），請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)解析式，列出關(guān)于a、b的方程組$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，通過(guò)解該方程組可以求得它們的值，從而得到拋物線(xiàn)的解析式；
（2）首先假設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出MN，ON的長(zhǎng)，進(jìn)而求出最值；
（3）過(guò)A作AR⊥KI于R點(diǎn)，分當(dāng)Q在KI左側(cè)時(shí)，當(dāng)Q在KI右側(cè)時(shí)，兩種情況討論可得實(shí)數(shù)m的變化范圍．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為：（x，-x²+2x+3），則ON=x，MN=-x²+2x+3，
由題意可得：MN+2ON=-x²+2x+3+2x=-x²+4x+3=-（x-2）²+7，
x=2時(shí)，-x²+2x+3=3，故M（2，3），
則MN+2ON的最大值為：7，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（2，3）；

（3）如圖：過(guò)A作AR⊥KI于R點(diǎn)，則AR=KR=1．
當(dāng)Q在KI左側(cè)時(shí)，△ARP∽△PIQ．
設(shè)PI=n，則RP=3-n，
∴$\frac{1-m}{3-n}$=$\frac{n}{1}$，即n²-3n-m+1=0，
∵關(guān)于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-$\frac{5}{4}$；
當(dāng)Q在KI右側(cè)時(shí)，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P為點(diǎn)K時(shí)，
∴m≤5．
綜上所述，m的變化范圍為：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式以及二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，正確利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．