Question

3．已知拋物線的解析式為y=mx²（m＞0）和點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$），A為拋物線上不同于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交拋物線于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D（點(diǎn)D在F點(diǎn)上方），且有FA=FD．當(dāng)△ADF為正三角形時(shí)，AF=1．
（1）求m的值；
（2）當(dāng)直線l₁∥l且與拋物線僅交于一點(diǎn)E時(shí)，小明通過研究發(fā)現(xiàn)直線AE可能過定點(diǎn)，請你說明直線AE可能過定點(diǎn)的猜想過程，并寫出猜得的定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥y軸于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得HF=DH=$\frac{1}{2}$，AH=$\sqrt{3}$HF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=mx²可求出m的值；
（2）設(shè)A（t，t²），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到AF=t²+$\frac{1}{4}$，則FA=FD=t²+$\frac{1}{4}$，所以D（0，t²+$\frac{1}{2}$），利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2t}$x+t²+$\frac{1}{2}$，利用直線平行的問題可設(shè)直線l₁的解析式為y=-$\frac{1}{2t}$x+a，
接著利用方程-$\frac{1}{2t}$x+a=x²有相等的實(shí)數(shù)解可求出方程的解得到E（-$\frac{1}{4t}$，$\frac{1}{16{t}^{2}}$），然后利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式為y=（t-$\frac{1}{4t}$）x+$\frac{1}{4}$，最后由于x=0時(shí)，y=$\frac{1}{4}$，于是可判斷直線AE過定點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$）．

解答 解：（1）作AH⊥y軸于點(diǎn)H，如圖，
∵△ADF為正三角形，
∴HF=DH=$\frac{1}{2}$，AH=$\sqrt{3}$HF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{4}$），
把A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{4}$）代入y=mx²得m•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，
∴m=1；
（2）直線AE過定點(diǎn)F．理由如下：
設(shè)A（t，t²），則AF=$\sqrt{{t}^{2}+（{t}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}}$=t²+$\frac{1}{4}$，
∵FA=FD，
∴FD=t²+$\frac{1}{4}$，
∴D（0，t²+$\frac{1}{2}$），
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
把D（0，t²+$\frac{1}{2}$），A（t，t²）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2t}}\\{b={t}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2t}$x+t²+$\frac{1}{2}$，
∵l₁∥l，
∴設(shè)直線l₁的解析式為y=-$\frac{1}{2t}$x+a，
∵l₁與拋物線僅交于一點(diǎn)E，
∴方程-$\frac{1}{2t}$x+a=x²有相等的實(shí)數(shù)解，
∴△=0，x₁=x₂=-$\frac{1}{4t}$，
∴E（-$\frac{1}{4t}$，$\frac{1}{16{t}^{2}}$），
設(shè)直線AE的解析式為y=px+q，
把A（t，t²），E（-$\frac{1}{4t}$，$\frac{1}{16{t}^{2}}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{pt+q={t}^{2}}\\{-\frac{1}{4t}p+q=\frac{1}{16{t}^{2}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=t-\frac{1}{4t}}\\{q=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=（t-$\frac{1}{4t}$）x+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{4}$，
∴直線AE過定點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和等邊三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；能用判別式的值判斷拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．