Question

如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，且與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C，設(shè)⊙O的半徑為r，OA=5．
（1）探究：①求證：AB=AC；②當(dāng)r=3時，線段AB的長為

 

；求出此時線段PB的長；
（2）操作：連接OC，交⊙O于點(diǎn)E，若CB恰好評分∠ACO，判斷S_△ABE與S_△ABC的大小關(guān)系，并說明理由．
（3）延伸：若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，直接寫出⊙O的半徑r的取值范圍；

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）①利用切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠PCA=∠CBA，即可得出答案；
②利用勾股定理直接求出AB即可，再利用已知得出△OPQ∽△CPA，求出PQ的長；
（2）利用平行線的性質(zhì)得出CO∥AB即可得出S_△ABE與S_△ABC的大小關(guān)系；
（3）根據(jù)題意得出OE=

1

2

AC=

1

2

AB=

1

2

52-r2

，利用OE=

1

2

52-r2

≤r，

25-r2

≤2r，求出r得取值范圍即可．

解答：（1）①證明：如圖1，連接OB，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴OB⊥AB．
∴∠CBA+∠OBP=90°． 
∵OA⊥l于點(diǎn)A，
∴∠PCA+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠CPA，
∴∠PCA=∠CBA，
∴AB=AC．    
②解：當(dāng)r=3時，∵AO²=AB²+BO²，
∴AB=

52-32

=4，
過點(diǎn)O作OQ⊥PB于點(diǎn)Q，則PB=2PQ，
∵∠OPQ=∠CPA，∠OQP=∠CAP=90°，
∴△OPQ∽△CPA，
∴

OP

CP

=

PQ

PA

，
∴

3

22+42

=

PQ

2

，
解得：PQ=

3 5

5

，
∴PB=

6 5

5

；

（2）解：S_△ABE=S_△ABC；
理由：連接CO，
∵CB平分∠ACO，
∴∠OCP=∠ACP，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACP，
∴∠ABC=∠OCP，
∴OC∥AB，
∴S_△ABE=S_△ABC；

（3）解：如備用圖：
作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，
則可以推出OE=

1

2

AC=

1

2

AB=

1

2

52-r2

；
又∵圓O與直線MN有交點(diǎn)，
∴OE=

1

2

52-r2

≤r，

25-r2

≤2r，
25-r²≤4r²，
r²≥5，
∴r≥

5

，
又∵圓O與直線相離，
∴r＜5，
即

5

≤r＜5．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合以及切線的判定與性質(zhì)和勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，得出EO與AB的關(guān)系進(jìn)而求出r取值范圍是解題關(guān)鍵．