Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ=x，QR=y．
（1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）若△PQR是以QR為底邊的等腰三角形，求的x值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再由相似三角形的判定定理得出△BHD∽△BAC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)QR∥AB得出∠QRC=∠A=90°，故可得出△RQC∽△ABC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥QR于M，則QM=RM，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴$\frac{DH}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴DH=$\frac{AC•BD}{BC}$=$\frac{3×8}{10}$=$\frac{12}{5}$．                

（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴$\frac{RQ}{AB}$=$\frac{QC}{BC}$，
∴$\frac{y}{6}$=$\frac{10-x}{10}$，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-$\frac{3}{5}$x+6；

（3）當(dāng)PQ=PR時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥QR于M，則QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C，
∴cos∠1=cosC=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{QM}{QP}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（-\frac{3}{5}x+6）}{\frac{12}{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴x=$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，在解答（3）時(shí)，作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．