Question

（2012•濟(jì)寧）如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（4，0）、B（-2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BP²=BD•BC；
（3）當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）該拋物線的解析式中有兩個(gè)待定系數(shù)，只需將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式中求解即可．
（2）首先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由PD∥AC得到△BPD∽△BAC，通過比例線段可表示出BD的長；BC的長易得，根據(jù)題干給出的條件BP²=BD•BC即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由于PD∥AC，根據(jù)相似三角形△BPD、△BAC的面積比，可表示出△BPD的面積；以BP為底，OC為高，易表示出△BPC的面積，△BPC、△BPD的面積差為△PDC的面積，通過所列二次函數(shù)的性質(zhì)，即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得

16a+4b-4=0 4a-2b-4=0

，
解得

a= 1 2 b=-1

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2-x-4；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（x，0）時(shí)，有BP²=BD•BC，
令x=0時(shí)，則y=-4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）．
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC，
∴

BD

BC

=

BP

BA

．
∵BC=

BO2+OC2

=

22+42

=2

5

，
AB=6，BP=x-（-2）=x+2．
∴BD=

BP×BC

BA

=

2 5 (x+2)

6

=

5 (x+2)

3

．
∵BP²=BD•BC，
∴（x+2）²=

5 (x+2)

3

×2

5

，
解得x₁=

4

3

，x₂=-2（-2不合題意，舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

4

3

，0），即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（

4

3

，0）時(shí)，BP²=BD•BC；

（3）∵△BPD∽△BAC，
∴

S△BPD

S△BAC

=(

BP

AB

)2，
∴S△BPD=(

BP

AB

)2•S△BAC= (

x+2

6

)2×

1

2

×6×4=

(x+2)2

3

S_△PDC=S_△PBC-S_△PBD=

1

2

×（x+2）×4-

(x+2)2

3

= -

1

3

(x-1)2+3
∵-

1

3

＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，S_△PDC有最大值為3．
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，△PDC的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：該題綜合了相似三角形、圖形面積的求法等知識(shí)，難度系數(shù)大，（3）題中，將所求三角形的面積進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵所在．