Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，n），B（1， ），拋物線y=x2﹣2tx+t2﹣1與x軸相交于點(diǎn)C，D．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0），若點(diǎn)C，D都在線段OE上，求t的取值范圍；

（3）若該拋物線與線段AB有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，3）；（2）1≤t≤；（3）﹣4≤t≤或0≤t≤．

【解析】（1）根據(jù)已知條件解方程即可得到結(jié)論；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，即x2﹣2tx+t2﹣1=0，得到C（t﹣1，0），D（t+1，0），解不等式組即可得到結(jié)論；

（3）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，解方程得到t1=﹣4，t2=0，即當(dāng)t=﹣4時(shí)，點(diǎn)A在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)A在對(duì)稱軸的左側(cè)，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)解方程得到t1=，t2=，即當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)B在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)，當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)B在對(duì)稱軸的左側(cè)，于是得到結(jié)論．

解：（1）∵直線y=﹣x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，n），B（1，），

∴=﹣+m，

∴m=，

∴直線的解析式為y=﹣x+，

∴n=﹣×（﹣2）+=3，

∴A的坐標(biāo)（﹣2，3）；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，即x2﹣2tx+t2﹣1=0，

解得：x1=t﹣1，x2=t+1，

∴C（t﹣1，0），D（t+1，0），

∵點(diǎn)C，D都在線段OE上，

∴0≤t﹣1＜t+1≤，即，

∴1≤t≤，

∴t的取值范圍是1≤t≤；

（3）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，3=4+4t+t2﹣1，

解得：t1=﹣4，t2=0，

即當(dāng)t=﹣4時(shí)，點(diǎn)A在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)A在對(duì)稱軸的左側(cè)，

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)， =1﹣24t+t2﹣1，

解得：t1=，t2=，

即當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)B在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)，當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)B在對(duì)稱軸的左側(cè)，

∵拋物線與線段AB有公共點(diǎn)，

∴t的取值范圍為：﹣4≤t≤或0≤t≤．

“點(diǎn)睛”本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，方程和不等式的解法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．