Question

【題目】以四邊形ABCD的邊AB、AD為底邊分別作等腰三角形ABF和ADE,連接EB.

(1)當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)(如圖1),以邊AB、AD為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形ABF和ADE，連接EB、FD，線段EB和FD的數(shù)量關(guān)系是 .

(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)(如圖2),以邊AB、AD為斜邊分別向內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形ABF和ADE，連接EF、BD，線段EF和BD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請加以證明;

(3)當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)(如圖3),以邊AB、AD為斜邊分別向平行四邊形內(nèi)測、外側(cè)作等腰直角三角形ABF和ADE，且△EAD與△FBA的頂角都為α，連接EF、BD，交點(diǎn)為G，請用α表示出∠EGD，并說明理由.

圖1 圖2 圖3

【答案】（1）EF=BD；（2）EF=BD；（3）

【解析】分析：（1）正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法可證明△AFD≌△ABE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到EB=FD；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再證得∠BAD=∠FAE，即可判定△BAD∽△FAE ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可得；（3），先證△BFA∽△DEA，即可得，

再證得，所以△BAD∽△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得，再由∠AHE=∠DHG，即可得.

詳解：(1)EF=BD，

理由如下：

四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，

∵以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE，

∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，

∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，

∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，

∴∠FAD=∠BAE，

在△AFD和△ABE中， ，

∴△AFD≌△ABE，

∴EB=FD；

(2)EF=BD.

證明：∵△AFB為等腰直角三角形

∴,∠FAB=45°

同理： ,∠EAD=45° ∴∠BAD+∠FAD=∠EAD+∠DAF

即∠BAD=∠FAE

∵， ∴

∴△BAD∽△FAE ∴

即：

（3）解：

∵△AFB為等腰直角三角形，∴FB=FA，

同理：ED=EA，∴，

又∵ ，∴△BFA∽△DEA，

∴，

∴，

∴，

∴△BAD∽△FAE，

∴，

又∵∠AHE=∠DHG，

∴.

點(diǎn)睛：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等腰直角三角形的先證、相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度也不小，解題的關(guān)鍵是對特殊幾何圖形的性質(zhì)要準(zhǔn)確掌握．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,4）.連接BC.

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BC的解析式；

（2）點(diǎn)M是直線BC上的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)P.

①如圖1，求線段MN長度的最大值；

②如圖2，連接AM，QN，QP.試問：拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得與的面積相等，且線段NQ的長度最��？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）①：②存在， ，

【解析】分析：（1）用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式和直線BC的解析式即可；（2）①設(shè)，求得MN與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可；②分Q在PN左側(cè)和Q在PN右側(cè)兩種情況求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

詳解：（1）； ;

（2）①設(shè),

,

,

,

,

②作

設(shè)

，

，

，

，

a.：Q在PN左側(cè)時(shí)，

，

，

，

，

b：Q在PN右側(cè)時(shí)，

，

同理：

，

，

綜上： ， .