Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=10，BC-AC=2，求CE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由AB為⊙O的直徑，可得AC⊥BD，又由DC=CB，即可證得AD=AB，然后由等邊對等角，證得：∠B=∠D；
（2）首先設(shè)BC=x，由AB=10，BC-AC=2，可得方程x²+（x-2）²=10²，繼而求得BC的值，又由∠B=∠D，∠B=∠E，則可得CE=CD=BC=8．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）解：設(shè)BC=x，
∵BC-AC=2，
∴AC=x-2，
∵AC²+BC²=AB²，
∴x²+（x-2）²=10²，
解得：x₁=8，x₂=-6（舍去），
∴BC=8，
∵∠B=∠D，∠B=∠E，
∴∠D=∠E，
∴CE=CD=BC=8．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．