Question

【題目】在△ABC和△ADE中AC=BC,AE=DE , ∠ACB=∠AED=90° , 點(diǎn)E在AB上,F是線段BD的中點(diǎn),連接CE、FE.

（1）若AD=3,BE=4 ,求EF的長

（2）求證：CE=EF

（3）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使△AED的一邊AE恰好與△ABC的邊AC在同一條直線上(如圖2),連接BD,取BD的中點(diǎn)F,問(2)中的結(jié)論是否仍然成立,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2.5；（2）見解析；（3）成立，見解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得DE長，再根據(jù)勾股定理求得BD長，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可求；

（2）通過角之間的關(guān)系證出，判斷出△ECF是等腰直角三角形，斜邊和直角邊的關(guān)系即為結(jié)論；

（3）連接CF,延長EF交CB于點(diǎn)G,通過輔助線構(gòu)建全等模型，即，通過全等三角形的性質(zhì)證明；也可證明，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，再結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)證明.

解:（1） ，,

,

在中,

又是線段BD的中點(diǎn), EF=BD=2.5;

（2）如圖1,連接CF,線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是

、C、D、E四點(diǎn)共圓

且BD是該圓的直徑,

點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),

點(diǎn)F是圓心,,

:

,

∴△ECF是等腰直角三角形，

.

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立.

解法1:如圖,連接CF,延長EF交CB于點(diǎn)G,

,

,

在和中,

,

,

,

為等腰直角三角形,

,

；

解法2:如圖,連結(jié)CF、AF,

,

點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),

,

在和中,

,

,

∵FA=FB,CA=CB,

∴CF所在的直線垂直平分線段AB，

同理,EF所在的直線垂直平分線段AD,

∵DA⊥BA,

∴EF⊥CF,

為等腰直角三角形

.