Question

【題目】已知：如圖，在等邊△ABC中取點P，使得PA，PB，PC的長分別為3，4，5，將線段AP以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接BD，下列結(jié)論：

①△ABD可以由△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點P與點D的距離為3；③∠APB＝150°；

④S△APC+S△APB＝，其中正確的結(jié)論有（　　）

A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由線段AP以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有AD＝AP，∠DAP＝60°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝60°，AB＝AC，易得∠DAP＝∠PAC，于是△ABD可以由△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到；△ADP為等邊三角形，則有PD＝PA＝3；在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD為直角三角形，且∠BPD＝90°，則∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°；由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，則有S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD，根據(jù)等邊三角形的面積為邊長平方的倍和直角三角形的面積公式即可得到 可判斷④不正確．

解：連PD，如圖，

∵線段AP以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，

∴AD＝AP，∠DAP＝60°，

又∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴∠DAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP，

∴∠DAP＝∠PAC，

∴△ABD可以由△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以①正確；

∵DA＝PA，∠DAP＝60°，

∴△ADP為等邊三角形，

∴PD＝PA＝3，所以②正確；

在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，

∵32+42＝52，即PD2+PB2＝BD2，

∴△PBD為直角三角形，且∠BPD＝90°，

由②得∠APD＝60°，

∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°，所以③正確；

∵△ADB≌△APC，

∴S△ADB＝S△APC，

∴S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD所以④不正確．

故選：C．