已知正方形ABCD,AC、BD交于O點，將一個三角板的直角頂點與O重合，它的兩條直角邊分別與AB、BC相交于點E、F.

（1）當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到OE與AB垂直時（如圖1），求證：BE+BF=OB.

（2）當三角板在（1）的條件下繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a°（0°＜a＜45°）時，如圖2,上述結(jié)論是否成立？若成立,請給予證明；若不成立請說明理由.

 


（1）∵ABCD是正方形，O為對角線AC、BD的交點，

∴OB=OC，OB⊥OC,BC=OB.

又∵OE⊥AB，OF⊥BC,

∴OE=OF

∴Rt△BOE≌Rt△COF

          ∴BE=CF

          ∴BE+BF=CF+BF=OB.

（2）BE+BF=OB仍然成立

         理由是：∵∠EOB+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°

                  ∴∠EOB=∠COF  

                  又OB=OC, ∠OBE=∠OCF=45°

                  ∴△BOE≌△COF   

                  ∴BE=CF

    ∴BE+BF=CF+BF=OB.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，過O點作OE⊥OF分別交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線AC于P．
（1）①求證：OE=OF；
②寫出線段EF、PC、BC之間的一個等量關(guān)系式，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當∠EOF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，使E、F分別在CD、BC的延長線上，請完成圖形并判斷（1）中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長與Rt△EFG的直角邊EF的長均為4cm，F(xiàn)G=8cm，AB與FG在同一條直線l上、開始時點F與點B重合，讓Rt△EFG以每秒1cm速度在直線l上從右往左移動，精英家教網(wǎng)直至點G與點B重合為止．設(shè)x秒時Rt△EFG與正方形ABCD重疊部分的面積記為ycm2．
（1）當x=2秒時，求y的值；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正方形ABCD的邊長為4厘米，E，F(xiàn)分別為邊DC，BC上的點，BF=1厘米，CE=2厘米，BE，DF相交于點G，求四邊形CEGF的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

（2012•惠山區(qū)一模）閱讀與證明：
如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點，且∠EAF=45°，

求證：BF+DE=EF．
分析：證明一條線段等于另兩條線段的和，常用“截長法”或“補短法”，將線段BF、DE放在同一直線上，構(gòu)造出一條與BF+DE相等的線段．如圖1延長ED至點F′，使DF′=BF，連接A F′，易證△ABF≌△ADF′，進一步證明△AEF≌△AEF′，即可得結(jié)論．
（1）請你將下面的證明過程補充完整．
證明：延長ED至F′，使DF′=BF，
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS）
應(yīng)用與拓展：如圖建立平面直角坐標系，使頂點A與坐標原點O重合，邊OB、OD分別在x軸、y軸的正半軸上．
（2）設(shè)正方形邊長OB為30，當E為CD中點時，試問F為BC的幾等分點？并求此時F點的坐標；
（3）設(shè)正方形邊長OB為30，當EF最短時，直接寫出直線EF的解析式：
y=-x+30
2
y=-x+30
2
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD邊長為2，E、F、G、H分別為各邊上的點，且AE=BF=CG=DH．
（1）求證：△EBF≌△FCG；
（2）設(shè)四邊形EFGH的面積為s，AE為x，求s與x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當x為何值時，正方形EFGH的面積最�。孔钚≈凳嵌嗌�？

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