Question

5．如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于點F，AB=10，AC=4，延長CF交AB于點G．
（1）求證：△AFG≌△AFC；
（2）求DF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出∠GAF=∠CAF，再根據(jù)垂線的性質(zhì)可得出∠GFA=∠AFC=90°，由此即可通過全等三角形的判定定理ASA來證出△AFG≌△AFC；
（2）根據(jù)（1）中的△AFG≌△AFC可得出AG、BG的長，再根據(jù)DF為△CBG的中位線，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠GAF=∠CAF．
∵CF⊥AE，
∴∠GFA=∠AFC=90°，
在△AFG和△AFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠CAF}\\{AF=AF}\\{∠AFG=∠AFC}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFC（ASA）．
（2）解：∵△AFG≌△AFC，
∴AC=AG=4，GF=CF，
∴BG=AB-AG=10-4=6．
又∵點D是BC中點，
∴DF是△CBG的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$BG=3．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全等三角形的判定定理ASA來證出△AFG≌△AFC；（2）找出DF是△CBG的中位線．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)給定的邊角關(guān)系通過全等三角形的判定定理證出兩三角形全等是關(guān)鍵．