Question

在△ABC中，AB=AC，AD，CE分別平分∠BAC和∠ACB，且AD與CE交于點M．點N在射線AD上，且NA=NC．過點N作NF⊥CE于點G，且與AC交于點F，再過點F作FH∥CE，且與AB交于點H．

（1）如圖1，當∠BAC=60°時，點M，N，G重合．
①請根據(jù)題目要求在圖1中補全圖形；
②連結(jié)EF，HM，則EF與HM的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖2，當∠BAC=120°時，求證：AF=EH；
（3）當∠BAC=36°時，我們稱△ABC為“黃金三角形”，此時

BC

AC

=

5 -1

2

．若EH=4，直接寫出GM的長．

Answer 1

考點：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）①根據(jù)條件可補全圖形，如圖1①；②連接MF，如圖1②，要證EF=HM，由于點M，N重合，只需證到EF=HN，只需證到四邊形ENFH是矩形即可．
（2）連接FM，EF，如圖2．易證△ANC是等邊三角形，從而有AN=AC．進而可證到△AFN≌△AMC，則有AF=AM，從而得到△AMF是等邊三角形，則有AF=FM，∠AMF=60°．進而可證到四邊形FHEM是平行四邊形，則有EH=FM，即AF=EH．
（3）連接BM，如圖3，易證△BCG≌△FCG，則有BG=FG，根據(jù)平行線分線段成比例可得BE=EH=4，只需證到△BEM是黃金三角形，就可求出GM的長．

解答：解：（1）①補全圖形，如圖1①．
②連接MF，EF，如圖1②．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴CA=CB．
∵CE平分∠ACB，
∴CE⊥AB，即∠AEC=90°．
∵NF⊥CE，即∠FNC=90°，
∴∠AEC=∠FNC，
∴EH∥FN．
∵FH∥CE，
∴四邊形ENFH是平行四邊形．
∵∠AEC=90°，
∴平行四邊形ENFH是矩形．
∴EF=HN．
∵點M，N重合，
∴EF=HM．
故答案為：EF=HM．

（2）連接FM，如圖2．
∵AD，CE分別平分∠BAC和∠ACB，且∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，∠ACE=∠BCE．
∵AB=AC，∴AD⊥BC．
∵NG⊥EC，
∴∠MDC=∠NGM=90°，
∴∠BCE+∠DMC=90°，∠MNG+∠DMC=90°．
∴∠BCE=∠MNG．
∴∠ACE=∠MNG．
∵NA=NC，∠NAC=60°，
∴△ANC是等邊三角形，
∴AN=AC．
在△AFN和△AMC中，

∠ANF=∠ACM AN=AC ∠NAF=∠CAM

，
∴△AFN≌△AMC（ASA），
∴AF=AM．
∴△AMF是等邊三角形．
∴AF=FM，∠AMF=60°．
∴∠AMF=∠BAD．
∴FM∥AE．
∵FH∥CE，
∴四邊形FHEM是平行四邊形．
∴EH=FM．
∴AF=EH．

（3）連接BM，如圖3．
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=36°．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，∠BAD=18°，
∴MB=MC，NB=NC=AN，
∴∠MBC=∠MCD=36°，∠ABN=∠BAN=18°，
∴∠ABM=36°，∠BME=72°，∠NBC=72°-18°=54°，
∴∠BEM=72°=∠BME，∠NBC+∠ECD=54°+36°=90°，
∴BE=BM，BN⊥CE，
∴△BEM是黃金三角形．
∴

EM

BE

=

5 -1

2

．
∴EM=

5 -1

2

BE．
∵NF⊥CE于點G，BN⊥CE，
∴B、G、N三點共線，
∴∠BGC=∠FGC=90°，即BG⊥EM．
∵BE=BM，BG⊥EM，
∴EG=MG=

1

2

EM=

5 -1

4

BE．
在△BCG和△FCG中，

∠BCG=∠FCG CG=CG ∠BGC=∠FGC

，
∴△BCG≌△FCG（ASA），
∴BG=FG．
∵EG∥FH，
∴

BE

EH

=

BG

GF

=1，
∴BE=EH=4，
∴MG=

5 -1

4

BE=

5

-1．
∴MG的長為

5

-1．

點評：本題考查了黃金三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、平行線分線段成比例等知識，綜合性比較強，有一定的難度，而證到△BEM是黃金三角形是解決第（3）小題的關(guān)鍵．