Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC²=PE•PO
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑．
（3）在（2）的條件下，求sin∠PCA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據(jù)PC²=PE•PO和∠P=∠P，可證明△PCO∽△PEC，則∠PCO=∠PEC，再由已知條件即可得出PC⊥OC；
（2）設(shè)OE=x，則AE=2x，根據(jù)切割線定理得PC²=PA•PB，則PA•PB=PE•PO，解一元二次方程即可求出x，從而得出⊙O的半徑；
（3）連接BC，根據(jù)PC是⊙O的切線，得∠PCA=∠B，根據(jù)勾股定理可得出CE，BC，由三角函數(shù)的定義可得出答案．
解答：（1）證明：連接OC，
∵PC²=PE•PO，
∴=，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：設(shè)OE=x，
∵OE：EA=1：2，
∴AE=2x，
∵PC²=PA•PB，
∴PA•PB=PE•PO，
∵PA=6，
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得，x=1，
∴OA=3x=3，
∴⊙O的半徑為3．

（3）解：連接BC，
∵PC²=PA•PB，
∴PC=6，
∴CE===2，
∴BC===2，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B===．
點評：本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義的綜合應(yīng)用，是中考壓軸題，難度中等．