Question

如圖，經(jīng)過原點的拋物線與軸的另一個交點為A.過點作直線軸于點M，交拋物線于點B.記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（B、C不重合）.連結(jié)CB,CP。

1.當時，求點A的坐標及BC的長；

2.當時，連結(jié)CA，問為何值時？

3.過點P作且，問是否存在，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并定出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.當m=3時，y=－x²+6x

令y=0，得－x²+6x=0，

∴∴A(6,0)

當x=1時，y=5，∴B（1,5）

又∵拋物線的對稱軸為直線x=3，

又∵B、C關于對稱軸對稱，∴BC=4 （4分）

2.過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

∴△ACH∽△PCB

∵拋物線的

對稱軸為直線x=m，其中，

又∵B，C關于對稱軸對稱，

∴BC=2(m－1)

∵B(1,2 m－1),P(1,m),

∴BP= m－1，

又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),

∴H(2m－1,0)

∴AH=1,CH=2m－1

∴（8分）

3.∵B，C不重合，∴m≠1，

(Ⅰ)當m＞1時，BC=2(m－1)

PM=m, BP= m－1.

(ⅰ)若點E在x軸上（如圖2），

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90°

∴∠MEP=∠BPC

又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP

∴△BPC≌△MEP

∴BC=PM，

∴2(m－1)=m

∴m=2

此時點E的坐標是（2,0）

(ⅱ)若點E在y軸上（如圖3）

過點P作PN⊥y軸于點N，

易證△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴ m－1=1，

∴m=2，

此時點E的坐標是（0,4）

 (Ⅱ)當0＜m＜1時， BC=2(m－1)，PM=m

    BP= m－1.

(ⅰ) 若點E在x軸上（如圖4），

   易證△PBC≌△MEP，

∴BC=PM

2(m－1)=m

∴m=

此時點E的坐標是（,0）

 (ⅱ)若點E在y軸上（如圖5）

過點P作PN⊥y軸于點N，

易證△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴ 1－m =1，

∴m=0，（∵m>0,舍去）

綜上所述，當m=2時，點E的坐標是（2,0）或（0,4）；

          當m=時，點E的坐標是（,0）（14分）

【解析】1）把m=3，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點的橫坐標，再求出拋物線的對稱軸方程，進而求出BC的長；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△AGH∽△PCB，根據(jù)相似的性質(zhì)得到：，再用含有m的代數(shù)式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；

（3）存在，本題要分當m＞1時，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和當0＜m＜1時，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對應的點E坐標．

【解析】略