Question

已知AB是⊙O中一條長為4的弦，P是⊙O上一動點，cosAPB=,問是否存在以A、P、B為頂點的面積最大的三角形，試說明理由；若存在，求出這個三角形的面積．

 

Answer 1

答案：
解析：

存在以A、P、B為頂點的面積最大的三角形． 取的中點P，作PD⊥AB于D，即PD為弓形的高，且PD所在直線必過圓心O． ∵AB的長為定值，∴當點P在優(yōu)弧中點時，點P到直線AB的距離最大，△ABP的面積最大．連結PA、PB，則△APB為等腰三角形，此三角形為所求．作⊙O直徑AC，連BC，則∠ABC=90°，∠APB=∠C, ∴cos∠APB=cos∠C=．設BC=x,則AC=3x．在Rt△ABC中，AB=4,∵AC2=AB2+BC2, ∴(3x)2=42+x2,解得x=± (舍去負值) ∴BC=,AC=3,PO=． ∵AO=OC,AD=DB, ∴OD=BC=．  ∴PD=PO+OD=2, ∴S△APB=AB·PD=否4否2=4．

提示：

先作一個簡圖，如圖，由S△ABP=AB·h，因此只要考查點P在什么位置時到AB的距離最大，結合圖形容易找到這樣的點P．