Question

如圖，在△ABC中，以A為圓心，AB為半徑作圓交AC于點(diǎn)D，連接BD，已知∠A=2∠CBD．
（1）求證：直線BC為⊙A的切線；
（2）若cos∠CBD=

3

2

，⊙A半徑為10，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）證得AB⊥BC即可判定切線；
（2）首先根據(jù)cos∠CBD=

3

2

得到∠CBD=30°，從而得到∠A=60°，然后利用S_陰影=S_△ABC-S_扇形BAD求解．

解答：解：∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠C+∠DBC，∠A=2∠CBD，
∴在△ABC中，由三角形的內(nèi)角和定理得：
2（∠C+∠DBC）+2∠CBD=180°，
∴∠C+2∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴直線BC為⊙A的切線；

（2）∵cos∠CBD=

3

2

，
∴∠CBD=30°，
∴∠A=60°，
∵AB=10，
∴BC=10

3

，
∴S_陰影=S_△ABC-S_扇形BAD=

1

2

×10×10

3

-

60π×102

360

=50

3

-

50

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，在解決切線問(wèn)題時(shí)，常常連接圓心和切點(diǎn)，證明垂直或利用垂直求解．