Question

如圖所示，已知△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．
（1）問線段QM、PM、AB之間有什么關(guān)系？
（2）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形？

Answer 1

考點：菱形的判定,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形AQMP，求出BQ=MQ即可；
（2）求出AQ=QM，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：解：（1）QM+PM=AB，
理由是：∵QM∥AC，PM∥AB，
∴四邊形AQMP是平行四邊形，
∴AP=QM，AQ=PM，∠QMB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴BQ=QM，
∴AB=AQ+BQ=QM+PM；

（2）當M為BC中點時，四邊形AQMP是菱形，
理由是：連接AM，
∵AB=AC，M為BC中點，
∴∠BAM=∠CAM，
∵QM∥AC，
∴∠QMA=∠CAM，
∴∠QAM=∠QMA，
∴AQ=QM，
∵QM∥AC，PM∥AB，
∴四邊形AQMP是平行四邊形，
∴四邊形AQMP是菱形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定的應(yīng)用，注意：菱形的判定定理有：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②四條邊都相等的四邊形是菱形，③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．