Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC上運動（點E不與A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF，在運動變化過程中，有下列結(jié)論：
①△DEF是等腰三角形；
②四邊形CEDF不可能是正方形；
③四邊形CEDF的面積隨點E位置改變而發(fā)生變化；
④點C到線段EF的最大距離為

2

；
⑤AE²+BF²=EF²；
⑥EF=

2

DF．
其中結(jié)論正確的是

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：①作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；進一步得出⑥正確；
②當(dāng)E為AC中點，F(xiàn)為BC中點時，四邊形CEDF為正方形；
③由割補法可知，四邊形CEDF的面積保持不變；
④△DEF是等腰直角三角形，

2

DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，F(xiàn)E取最小值2

2

，此時點C到線段EF的最大距離；
⑤由AC=BC，AE=CF，得出CE=BF，進一步由勾股定理得出AE²+BF²=EF²．

解答：解：①連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中

CD=AD ∠DCB=∠A AE=CF

∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正確）；
∴EF=

2

DF．（故⑥正確）；

②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形（故②錯誤）；

③如圖2所示，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，
可以利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變（故③錯誤）；

④△DEF是等腰直角三角形，

2

DE=EF，
當(dāng)EF∥AB時，∵AE=CF，
∴E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，
故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值

22+22

=2

2

，
∵CE=CF=2，
∴此時點C到線段EF的最大距離為

1

2

EF=

2

．（故④正確）；

⑤∵AC=BC，AE=CF，
∴CE=BF，
由勾股定理得：CE²+CF²=EF²．
∴AE²+BF²=EF²．（故⑤正確）
故正確的有①④⑤⑥共4個．
故答案為：①④⑤⑥．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識．