Question

1．已知如圖所示，BC為半圓O的直徑，AB⊥BC，垂足為D，過點B作弦BF交AD于點E，交半圓O于點F，弦AC與BF交于點H，且AE＝BE，求證：(1)＝；(2)AH·BC＝2AB·BE．

2．在上題中若加上條件sin∠FBC＝，AB＝4，求AD的長．

Answer 1

答案：
解析：

1．解答：(1)∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE． 　　而∠BAE＝∠ACB，∠ACB＝∠ABE＝∠ACF，∴∠ACB＝∠FCA，即＝． 　　(2)如圖，延長BA與CF延長線交于M．∵BC是直徑，∴∠BAC＝，而∠ACB＝∠ACF，∴AB＝AM，∠EAH＝∠ABC，而∠AHE＝∠ACB＋∠FBC＝∠ABF＋∠FBC＝∠ABD， 　　 　　∴∠EAH＝∠AHE＝∠ABC＝∠BMC． 　　∴△AEH∽△BCM，∴＝＝， 　　而AE＝BE，即AH·BC＝2AB·BE． 　　2．解答：設DE＝3x，∴sin∠FBC＝＝，∴BE＝5x，∴AD＝8x，BD＝＝＝4x， 　　在Rt△ABD中，則(8x)2＋(4x)2＝(4)2． 解得x＝1，∴AD＝8．

提示：

1．名師導引：(1)∠ACB＝∠BAD，而AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，∠FCA＝∠ABE． 　　(2)延長BA與CF延長線交于M．證明△AEH∽△BMC． 　　2．名師導引：令DE＝3x，則BE＝5x，BD＝4x，構(gòu)建直角三角形求出x． 　　點評：運用三角函數(shù)，勾股定理是求線段常見方法．