Question

【題目】如圖，四邊形是矩形紙片，AB=2．對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過(guò)點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N，折痕BM與EF相交于點(diǎn)Q再次展平，連接BN，MN，延長(zhǎng)MN交BC于點(diǎn)G.有如下結(jié)論：①∠ABN= 60°；②AM=1；③；④△BMG是等邊三角形；⑤P為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)，H是BN的中點(diǎn)，則PN+PH的最小值是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________.

Answer 1

【答案】①④⑤

【解析】如圖1,連接AN,

∵EF垂直平分AB，

∴AN=BN，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得

AB=BN，

∴AN=AB=BN.

∴△ABN為等邊三角形。

∴∠ABN=60°,∠PBN=60°÷2=30°，

即結(jié)論①正確；

∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，

∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，

∴AM=ABtan30°=2×=，

即結(jié)論②不正確。

∵EF∥BC，QN是△MBG的中位線，

∴QN=BG；

∵BG=BM=AB÷cos∠ABM=2÷=，

∴QN=×=，

即結(jié)論③不正確。

∵∠ABM=∠MBN=30°,∠BNM=∠BAM=90°，

∴∠BMG=∠BNM∠MBN=90°30°=60°，

∴∠MBG=∠ABG∠ABM=90°30°=60°，

∴∠BGM=180°60°-60°=60°，

∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，

∴△BMG為等邊三角形，

即結(jié)論④正確。

∵△BMG是等邊三角形，點(diǎn)N是MG的中點(diǎn)，

∴BN⊥MG,∴BN=BGsin60°=×=2，

根據(jù)條件易知E點(diǎn)和H點(diǎn)關(guān)于BM對(duì)稱，

∴PH=PE，

∴P與Q重合時(shí)，PN+PH的值最小，此時(shí)PN+PH=PN+PE=EN，

∵EN= = ，

∴PN+PH=，

∴PN+PH的最小值是，

即結(jié)論⑤正確。

故答案為：①④⑤。