Question

如圖，直徑分別為CD、CE的兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)C，大半圓M的弦與小半圓N相切于點(diǎn)F，且AB∥CD，AB=4，設(shè)

CD

、

CE

的長分別為x、y，線段ED的長為z，則z（x+y）的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專題：計(jì)算題

分析：過M作MG⊥AB于G，連MB，NF，如圖，設(shè)⊙M，⊙N的半徑分別為R，r，根據(jù)垂徑定理得BG=AG=

1

2

AB=2，在Rt△MBG中，利用勾股定理可計(jì)算出MB²-MG²=BG²=4，即R²-MG²=4，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得NF⊥AB，易判斷四邊形MGFN為矩形，得到MG=NF=r，則R²-r²=4，利用圓的周長公式得到z（x+y）=（CD-CE）（π•R+π•r），然后變形得到（R²-r²）•2π，再利用整體代入的方法計(jì)算．

解答：解：過M作MG⊥AB于G，連MB，NF，如圖，設(shè)⊙M，⊙N的半徑分別為R，r，
∵M(jìn)G⊥AB，
∴BG=AG=

1

2

AB=2，
在Rt△MBG中，MB²-MG²=BG²=2²=4，
即R²-MG²=4，
又∵大半圓M的弦與小半圓N相切于點(diǎn)F，
∴NF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴四邊形MGFN為矩形，
∴MG=NF=r，
∴z（x+y）=（CD-CE）（π•R+π•r）
=（2R-2r）（R+r）•π
=（R²-r²）•2π
=4•2π
=8π．
故答案為8π．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了勾股定理和垂徑定理．