Question

（2011•武漢模擬）如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點D，AD平分∠CAB交弧

BC

于點D，連接CD、OD．下列結論：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED=∠AOD；④CD=DE．其中正確結論的個數(shù)有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；過點E作EF⊥AC，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OE=EF，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可證；再根據(jù)內(nèi)角與外角的關系進行判斷即可得出答案．

解答：解：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO=

1

2

∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．
②過點E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②錯誤．
③∵在△ODE和△ADO中，
∠DEO=90°+∠DAO，
∠AOD=90°+∠COD，
∵∠DAO=

1

2

∠COD，
∴③∠OED=∠AOD錯誤；
④作ON⊥CD，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∠AEO=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠CED=67.5°，
∴CD=DE，
∴④正確．
綜上所述，只有①④正確．
故選：B．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點的靈活運用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學生的訓練是一道典型的題目．