Question

17．如圖，P是正方形ABCD外一點，PA=$\sqrt{2}$，PB=4，則PD長度的最大值為6．

Answer 1

分析 過A作AE⊥AP，使E、B在AP的兩側(cè)，使AE=PA=$\sqrt{2}$，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PE=2，由四邊形ABCD是正方形，得到∠BAD=90°，AB=AD． 根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAE=∠DAP，推出△BAE≌△DAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=PD，由三角形的三邊關(guān)系得到BE≤PB+PE=4+2=6，即可得到結(jié)論．

解答 解：過A作AE⊥AP，使E、B在AP的兩側(cè)，使AE=PA=$\sqrt{2}$，
∴PE=2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠PAE+∠PAB=∠BAD=∠PAB=90°+∠PAB，
∴∠BAE=∠DAP．
在△ADP與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠PAD=∠EAB}\\{AP=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAP，
∴BE=PD，
∵BE≤PB+PE=4+2=6，
∴當(dāng)點P落在線段BE上時，BE有最大值為6，
∴PD長度的最大值為6．
故答案為：6．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．