Question

【題目】如圖，△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) C開(kāi)始，按 C→A→B→C 的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒 1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為 t 秒．

（1）出發(fā) 2 秒后，求△ABP 的周長(zhǎng)．

（2）當(dāng) t 為幾秒時(shí)，BP 平分∠ABC？

（3）另有一點(diǎn) Q，從點(diǎn) C 開(kāi)始，按 C→B→A→C 的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒 2cm，若 P、Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng) P、Q 中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng) t 為何值時(shí)，直 線 PQ 把△ABC 的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）（16+2）cm；（2）3；（3）4或12

【解析】

（1）利用勾股定理AC=8cm和PB=2cm，所以求出了三角形的周長(zhǎng)．

（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，證明Rt△PBC≌Rt△PBD，得出AD的值，再設(shè)PC=xcm，則PA=（8-x）cm，利用勾股定理求解即可；

（3）利用分類討論的思想和周長(zhǎng)的定義求出了答案．

解：（1）如圖1，

∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴由勾股定理得AC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm

∴出發(fā)2秒后，則CP=2cm，那么AP=6cm．

∵∠C=90°，

∴由勾股定理得PB=2cm

∴△ABP的周長(zhǎng)為：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；

（2）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，

∵BP平分∠ABC，

∴PD=PC．

在Rt△PBC與Rt△PBD中，

，

∴Rt△PBC≌Rt△PBD（HL），

∴BD=CB=6cm，

∴AD=10-6=4cm．

設(shè)PC=xcm，則AP=（8-x）cm

在Rt△BPD中，，

即，

解得：x=3

∴當(dāng)t=3秒時(shí)，BP平分∠ABC；

（3）分兩種情況：①當(dāng)P、Q沒(méi)相遇前，P點(diǎn)走過(guò)的路程為tcm，Q走過(guò)的路程為2tcm，

∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分

∴t+2t=12

∴t=4s；
②當(dāng)P、Q相遇后，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t-8，AQ=2t-16，

∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分

∴t-8+2t-16=12

∴t=12s

故當(dāng)t為4秒或12秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．