Question

如圖（1），有兩個(gè)全等的正三角形ABC和ODE，點(diǎn)O、C分別為△ABC、△DEO的重心；固定點(diǎn)O，將△ODE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得OD經(jīng)過點(diǎn)C，如圖（2），則圖（2）中四邊形OGCF與△OCH面積的比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形的重心,等邊三角形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：設(shè)正三角形的邊長是x，則圖1中四邊形OGCF是一個(gè)內(nèi)角是60°的菱形，圖2中△OCH是一個(gè)角是30°的直角三角形，分別求得兩個(gè)圖形的面積，即可求解．

解答：解：設(shè)正三角形的邊長是x，則高長是

3

2

x．
圖1中，四邊形OGCF是一個(gè)內(nèi)角是60°的菱形，OC=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x．
另一條對(duì)角線長是：FG=2GH=2×

1

2

OC•tan30°=2×

1

2

×

3

3

x•tan30°=

1

3

x．
則四邊形OGCF的面積是：

1

2

×

1

3

x•

3

3

x=

3

18

x²；
圖2中，OC=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x．
△OCH是一個(gè)角是30°的直角三角形．
則△OCH的面積=

1

2

OC•sin30°•OC•cos30°=

1

2

×

3

3

x•×

1

2

×

3

3

x•

3

2

=

3

24

x²．
四邊形OGCF與△OCH面積的比為：

3

18

x²：

3

24

x²=4：3．
故答案為：4：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面積的計(jì)算，正確計(jì)算兩個(gè)圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵．