Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，已知點A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-3，0），B（0，3），C（1，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式；
（2）先證明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再證明△PDE是等腰直角三角形，則PE越大，△PDE的周長越大，再運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+3，則可設(shè)P點的坐標為（x，-x²-2x+3），E點的坐標為（x，x+3），那么PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-（x+

3

2

）²+

9

4

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=-

3

2

時，PE最大，△PDE的周長也最大．將x=-

3

2

代入-x²-2x+3，進而得到P點的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），B（0，3），C（1，0），
∴

9a-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°．
∵PF⊥x軸，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PE越大，△PDE的周長越大．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則

-3k+b=0 b=3

，解得

k=1 b=3

，
即直線AB的解析式為y=x+3．
設(shè)P點的坐標為（x，-x²-2x+3），E點的坐標為（x，x+3），
則PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x=-（x+

3

2

）²+

9

4

，
所以當(dāng)x=-

3

2

時，PE最大，△PDE的周長也最大．
當(dāng)x=-

3

2

時，-x²-2x+3=-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

，
即點P坐標為（-

3

2

，

15

4

）時，△PDE的周長最大．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的周長，綜合性較強，難度適中．