Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-m-2的圖象的頂點(diǎn)為C，圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，其坐標(biāo)為A（x，0）、B（4，0），且△ABC的面積為8．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在此二次函數(shù)的圖象上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）把B（4，0）代入二次函數(shù)的解析式，可求出m的值，把m的值分別代入二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)△ABC的面積為8判斷出m的值即可．
（2）由于與坐標(biāo)軸相等的點(diǎn)的坐標(biāo)所在的直線為y=x或y=-x，故應(yīng)分兩種情況討論．
根據(jù)O，D，E，三點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷出△ODE的形狀，即可求出以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的外接圓的半徑．

解答：解：（1）由B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）得：16-8m+m²-m-2=0，
∴m₁=2m₂=7，
當(dāng)m=2時(shí)，y=x²-4x．
△ABC面積為8，符合題意，（2分）
當(dāng)m=7時(shí)，y=x²-14x+40，
∴點(diǎn)A（10，0）B（4，0）頂點(diǎn)C（7，-9），
∴△ABC的面積為27，不符合題意，（4分）
∴函數(shù)解析式為y=x²-4x．（5分）

（2）與兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)y=x時(shí)，
∴

y=x y=x2-4x

，
解之得

x1=0 y1=0

，

x2=5 y2=5

∴點(diǎn)O（0，0）D（5，5）（7分）
與兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)y=-x時(shí)
∴

y=-x y=x2-4x

，
解之得

x1=0 y1=0

，

x3=3 y3=-3

，
∴點(diǎn)O（0，0）E（3，-3），（9分）
∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)O（0，0），D（5，5），E（3，-3）．（10分）
由題意知：OD⊥OE，即△ODE為直角三角形
∴DE為△ODE外接圓的直徑如圖：
∴DE=

EM2+DM2

=

[5-(-3)]2+(5-3)2

=2

17

，
∴△ODE外接圓的半徑為

17

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，及圓的相關(guān)知識(shí)，比較復(fù)雜．