Question

如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，現(xiàn)有兩個動點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以2cm/s的速度，沿AB向終點B移動；點Q以1cm/s的速度沿BC向終點C移動，其中一點到終點，另一點也隨之停止．連接PQ．設動點運動時間為x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示BQ、PB的長度；
（2）當x為何值時，△PBQ為等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20cm²？若存在，請求出此時x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=x，PB=8-2x；

（2）由題意，得
8-2x=x，
∴x=．
∴當x=時，△PBQ為等腰三角形；

（3）假設存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20cm²，
則，
解得x₁=x₂=2．
假設成立，所以當x=2時，四邊形APQC面積的面積等于20cm²．
分析：（1）首先運用勾股定理求出AB邊的長度，然后根據(jù)路程=速度×時間，分別表示出BQ、PB的長度；
（2）由于∠B=90°，如果△PBQ為等腰三角形，那么只有一種情況，即BP=BQ，由（1）的結果，可列出方程，從而求出x的值；
（3）根據(jù)四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積，列出方程，根據(jù)解的情況即可判斷．
點評：本題借助動點問題考查了勾股定理，路程與速度、時間的關系，等腰三角形的性質以及不規(guī)則圖形的面積計算，綜合性較強．