【題目】已知拋物線yax2x+c經(jīng)過(guò)A(2,0)B(0,2)兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)均以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿y軸正方向運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)BQAP時(shí),求t的值;

(3)隨著點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等邊三角形?若存在,請(qǐng)求出t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1y=-x2x2;(2)當(dāng)BQAP時(shí),t1t4;(3)存在.當(dāng)t時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M11),或當(dāng)t時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(﹣3,﹣3),使得△MPQ為等邊三角形.

【解析】

1)把A(﹣2,0),B0,2)代入yax2xc,求出解析式即可;

2BQ=AP,要考慮POC上及POC的延長(zhǎng)線上兩種情況,有此易得BQ,AP關(guān)于t的表示,代入BQ=AP可求t值.
3)考慮等邊三角形,我們通常只需明確一邊的情況,進(jìn)而即可描述出整個(gè)三角形.考慮MPQ,發(fā)現(xiàn)PQ為一有規(guī)律的線段,易得OPQ為等腰直角三角形,但僅因此無(wú)法確定PQ運(yùn)動(dòng)至何種情形時(shí)MPQ為等邊三角形.若退一步考慮等腰,發(fā)現(xiàn),MO應(yīng)為PQ的垂直平分線,即使MPQ為等邊三角形的M點(diǎn)必屬于PQ的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),但要明確這些交點(diǎn)僅僅滿足MPQ為等腰三角形,不一定為等邊三角形.確定是否為等邊,我們可以直接由等邊性質(zhì)列出關(guān)于t的方程,考慮t的存在性.

1)∵拋物線經(jīng)過(guò)A(﹣2,0),B02)兩點(diǎn),

,解得

∴拋物線的解析式為y=-x2x2

2)由題意可知,OQOPt,AP2t

①當(dāng)t≤2時(shí),點(diǎn)Q在點(diǎn)B下方,此時(shí)BQ2t

BQAP,∴2t2t),∴t1

②當(dāng)t2時(shí),點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方,此時(shí)BQt2

BQAP,∴t22+t),∴t4

∴當(dāng)BQAP時(shí),t1t4

3)存在.

MCx軸于點(diǎn)C,連接OM

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-m2m2

當(dāng)MPQ為等邊三角形時(shí),MQMP

又∵OPOQ,

∴點(diǎn)M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線上,

∴∠POMPOQ45°

∴△MCO為等腰直角三角形,CMCO

m=-m2m2,

解得m11,m2=﹣3

M點(diǎn)可能為(1,1)或(﹣3,﹣3).

①如圖,

當(dāng)M的坐標(biāo)為(1,1)時(shí),

則有PC1tMP21+(1t2t22t2,

PQ22t2

∵△MPQ為等邊三角形,

MPPQ

t22t22t2,

解得t1,t2(負(fù)值舍去).

②如圖,

當(dāng)M的坐標(biāo)為(﹣3,﹣3)時(shí),

則有PC3t,MC3

MP232+(3t2t26t18,PQ22t2

∵△MPQ為等邊三角形,

MPPQ,

t26t182t2

解得t1,t2(負(fù)值舍去).

∴當(dāng)t時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M1,1),或當(dāng)t時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(﹣3,﹣3),使得MPQ為等邊三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)畫出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2,并直接寫出點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至C2經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

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探究展示:

(1)“刻苦小組”發(fā)現(xiàn):,且,并展示了如下的證明過(guò)程.

證明:在矩形中,,,.

又∵,

.

,.

,

.(依據(jù)1)

.

.(依據(jù)2)

反思交流:①上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”與“依據(jù)2”分別指什么?

②“勤奮小組”認(rèn)為:還可以通過(guò)證明四邊形是平行四邊形獲證,請(qǐng)你根據(jù)“勤奮小組”的證明思路寫出證明過(guò)程.

猜想證明:

(2)如圖2,折疊過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn),在直線的同側(cè)時(shí),延長(zhǎng)于點(diǎn),延長(zhǎng)于點(diǎn),則四邊形是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由.

聯(lián)想拓廣:

(3)如圖3,連接,.

①當(dāng)時(shí),的長(zhǎng)為________;

的長(zhǎng)有最大值嗎?若有,請(qǐng)你直接寫出長(zhǎng)的最大值和此時(shí)四邊形的形狀;若沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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