Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B處停止運(yùn)動，M，N分別是AD，CD的中點(diǎn)，連接MN，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時(shí)間為ts．
（1）MN與AC的數(shù)量關(guān)系是MN=$\frac{1}{2}$AC；
（2）求點(diǎn)D由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動的過程中，線段MN所掃過區(qū)域的面積；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DMN是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形中位線證明即可；
（2）分別取△ABC三邊AC，AB，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，并連接EG，F(xiàn)G，根據(jù)題意可得線段MN掃過區(qū)域的面積就是?AFGE的面積求解即可；
（3）分三種情況：①當(dāng)MD=MN=3時(shí)，②當(dāng)MD=DN，③當(dāng)DN=MN時(shí)，分別求解△DMN為等腰三角形即可．

解答 解：（1）∵在△ADC中，M是AD的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC；
故答案為：MN=$\frac{1}{2}$AC；

（2）如圖1，分別取△ABC三邊AC，AB，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，并連接EG，F(xiàn)G，
根據(jù)題意可得線段MN掃過區(qū)域的面積就是?AFGE的面積，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S_{四邊形AFGE}=AE•GC=3×4=12，
∴線段MN所掃過區(qū)域的面積為12．

（3）據(jù)題意可知：MD=$\frac{1}{2}$AD，DN=$\frac{1}{2}$DC，MN=$\frac{1}{2}$AC=3，
①當(dāng)MD=MN=3時(shí)，△DMN為等腰三角形，此時(shí)AD=AC=6，
∴t=6，
②當(dāng)MD=DN時(shí)，AD=DC，如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥AC交AC于H，則AH=$\frac{1}{2}$AC=3，
∵cosA=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{3}{AD}$=$\frac{6}{10}$，解得AD=5，
∴AD=t=5．
③如圖3，當(dāng)DN=MN=3時(shí)，AC=DC，連接MC，則CM⊥AD，
∵cosA=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AM}{6}$=$\frac{6}{10}$，
∴AM=$\frac{18}{5}$，
∴AD=t=2AM=$\frac{36}{5}$，
綜上所述，當(dāng)t=5或6或$\frac{36}{5}$時(shí)，△DMN為等腰三角形．

點(diǎn)評 此題屬于三角形的綜合題．考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積、三角形中位線以及銳角三角函數(shù)的知識．注意掌握輔助線的作法、掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．