Question

已知：如圖1，等邊△ABC為2

3

，一邊在x上且A（1-

3

，0），AC交y軸于點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．
（1）直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）若直線y=kx-1（k≠0）將四邊形EABF的面積等分，求k的值；
（3）如圖2，過點(diǎn)A、B、C線與y軸交于點(diǎn)D，M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過x軸上一點(diǎn)G（-2，0）作DM的垂線，垂足為H，直線GH交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，現(xiàn)給出兩個(gè)結(jié)論：①∠GNM=∠CDM；②∠MGN=∠DCM，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你判斷哪個(gè)結(jié)論正確，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)可得OA的長(zhǎng)，由等邊三角形的邊長(zhǎng)即可求出OB的長(zhǎng)，從而得到B點(diǎn)的坐標(biāo)；由于C在線段AB的垂直平分線上，根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易求得等邊三角形的高，也就求出了C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）過C作x軸的垂線，交EF于Q，交AB于P，若直線y=kx-1平分四邊形ABFE的面積，那么此直線必過點(diǎn)PQ的中點(diǎn)R（因?yàn)榉殖傻膬蓚�(gè)梯形的上下底之和相同，高相同）；在Rt△EOA中，根據(jù)∠EAO的度數(shù)和OA的長(zhǎng)，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，P點(diǎn)的坐標(biāo)易求得，則可得到點(diǎn)R的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)R代入直線y=kx-1中，即可求出待定系數(shù)k的值，從而確定該直線的解析式．
（3）①的結(jié)論是正確的；由于OG=OD=2，且GH⊥DM，則可證得△NGO≌△MDO，由此可得∠GNO=∠DMO；而ON=OM（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊），故∠ONM=45；過D作DT⊥CP于T，根據(jù)C、D的坐標(biāo)可知CT=DT=1，即∠CDT=45°，而∠TDM、∠DMO是平行線DT、AB的內(nèi)錯(cuò)角，故∠TDM=∠DMO=∠GNO，因此∠TDM、∠GNO都加上45°后仍然相等，即∠GNM=∠CDM．

解答：解：（1）易知OA=

3

-1，AB=2

3

，
故OB=AB-OA=

3

+1；
易求得等邊△ABC的高為：3，
∴B（1+

3

，0）；
由于C點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，
因此C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：

1

2

（1+

3

+

3

-1）=1，
∴C（1，3）；
故B（1+

3

，0）、C（1，3）．（2分）

（2）過點(diǎn)C作CP⊥AB于P，交EF于點(diǎn)Q，取PQ的中點(diǎn)R；
∵△ABC是等邊三角形，A（1-

3

，0），
∴∠EAO=60°，
在Rt△EOA中，∠EOA=90°，
∴EO=AO•tan60°=-（1-

3

）×

3

=3-

3

，
∴E（0，3-

3

）；
∵EF∥AB交BC于F，C（1，3），
∴R（1，

3- 3

2

）；
∵直線y=kx-1將四邊形EABF的面積兩等分，
∴直線y=kx-1必過點(diǎn)R（1，

3- 3

2

），
∴k-1=

3- 3

2

，
∴k=

5- 3

2

．（4分）

（3）正確結(jié)論：①∠GNM=∠CDM，
證明：可求得過A、B、C的拋物線解析式為y=-x²+2x+2；（5分）
∴D（0，2），
∵G（-2，0），
∴OG=OD，
由題意∠GON=∠DOM=90°，
又∵∠GNO=∠DNH，
∴∠NGO=∠MDO，
∴△NGO≌△MDO，
∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，
∴∠ONM=∠NMO=45°，
過點(diǎn)D作DT⊥CP于T；
∴DT=CT=1，
∴∠CDT=∠DCT=45°，
由題意可知DT∥AB，
∴∠TDM=∠DMO，
∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，
∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，
即：∠GNM=∠CDM．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法、函數(shù)解析式的確定、全等三角形及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．