Question

【題目】問題呈現(xiàn)：
（Ⅰ）如圖1，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求證：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD ． （S表示面積）
（Ⅱ）實驗探究：某數(shù)學(xué)實驗小組發(fā)現(xiàn)：若圖1中AH≠BF，點G在CD上移動時，上述結(jié)論會發(fā)生變化，分別過點E、G作BC邊的平行線，再分別過點F、H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點A1、B1、C1、D1 ， 得到矩形A1B1C1D1 ．
如圖2，當(dāng)AH＞BF時，若將點G向點C靠近（DG＞AE），經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S ．
如圖3，當(dāng)AH＞BF時，若將點G向點D靠近（DG＜AE），請?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（Ⅲ）遷移應(yīng)用：
請直接應(yīng)用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題：

⑴如圖4，點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AH＞BF，AE＞DG，S四邊形EFGH=11，HF= ，求EG的長．

⑵如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點E、H分別在邊AB、AD上，BE=1，DH=2，點F、G分別是邊BC、CD上的動點，且FG= ，連接EF、HG，請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∵AE=DG，
∴四邊形AEGD是矩形，
∴S△HGE= S矩形AEGD ，
同理S△EGF= S矩形BEGC ，
∴S四邊形EFGH=S△HGE+S△EFG= S矩形ABCD ．
（Ⅱ）實驗探究：結(jié)論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣ ．

理由：∵ = ， = ， = ， = ，
∴S四邊形EFGH= + + + ﹣ ，
∴2S四邊形EFGH=2 +2 +2 +2 ﹣2 ，
∴2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣ ．
（Ⅲ）遷移應(yīng)用：解：（1）如圖4中，

∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣ ．
∴ =25﹣2×11=3=A1B1A1D1 ，
∵正方形的面積為25，∴邊長為5，
∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，
∴A1D1=2，A1B1= ，
∴EG2=A1B12+52= ，
∴EG= ．
⑵解：∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+ ．
∴四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大．
①如圖5﹣1中，當(dāng)G與C重合時，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大．
此時矩形A1B1C1D1面積=1（ ﹣2）=

②如圖5﹣2中，當(dāng)G與D重合時，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大．
此時矩形A1B1C1D1面積=21=2，

∵2＞ ﹣2，
∴矩形EFGH的面積最大值= ．
【解析】（Ⅰ）問題呈現(xiàn)：只要證明S△HGE= S矩形AEGD ， 同理S△EGF= S矩形BEGC ， 由此可得S四邊形EFGH=S△HGE+S△EFG= S矩形BEGC；（Ⅱ）實驗探究：結(jié)論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣ ．根據(jù) = ， = ， = ， = ，即可證明；（Ⅲ）遷移應(yīng)用：（1）利用探究的結(jié)論即可解決問題．（2）分兩種情形探究即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質(zhì)，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．