Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E為CD邊中點，點P從點A開始沿AC方向以每秒cm的速度運動，同時，點Q從點D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運動，當點P到達點C時，P，Q同時停止運動，設運動的時間為x秒.

（1）當點P在線段AO上運動時.

①請用含x的代數(shù)式表示OP的長度；

②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）顯然，當x=0時，四邊形PBEQ即梯形ABED，請問，當P在線段AC的其他位置時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的x的值；若不能，請說明理由.

Answer 1

. 解：（1）①由題意得∠BAO=30°，AC⊥BD

    ∵AB=2  ∴OB=OD=1，OA=OC=

    ∴OP=                                        

    ②過點E作EH⊥BD，則EH為△COD的中位線

    ∴   ∵DQ=x       ∴BQ=2-x

    ∴                

                           

∴       

（2）能成為梯形，分三種情況：

    當PQ∥BE時，∠PQO=∠DBE=30°

        ∴

        即  ∴x=

此時PB不平行QE，

∴x=時，四邊形PBEQ為梯形.               

當PE∥BQ時，P為OC中點

        ∴AP=，即

        ∴

此時，BQ=2-x=≠PE，

∴x=時，四邊形PEQB為梯形.                          

當EQ∥BP時，△QEH∽△BPO

    ∴    ∴

    ∴x=1（x=0舍去）

    此時，BQ不平行于PE，

∴x=1時，四邊形PEQB為梯形.               

綜上所述，當x=或或1時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形是梯形.