Question

如圖，已知拋物線y=（x+2）（x﹣4）與x軸交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）設(shè)動點N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小時n的值；

（3）P是拋物線上一點，請你探究：是否存在點P，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0得x₁=﹣2，x₂=4，

∴點A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣，

∴點C（0，﹣）

（2）將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣

∴點M的坐標為（1，﹣）

∴點M關(guān)于直線x=﹣2的對稱點M′的坐標為（﹣5，）

設(shè)直線M′B的解析式為y=kx+b

將點M′、B的坐標代入得：

解得：

所以直線M′B的解析式為y=．

將x=﹣2代入得：y=﹣

所以n=﹣．

（3）過點D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：

AD==3，

BD=，

如下圖，①當P₁AB∽△ADB時，

即：

∴P₁B=6

過點P₁作P₁M₁⊥AB，垂足為M₁．

∴即：

解得：P₁M₁=6，

∵即：

解得：BM₁=12

∴點P₁的坐標為（﹣8，6）

∵點P₁不在拋物線上，所以此種情況不存在；

②當△P₂AB∽△BDA時，即：

∴P₂B=6

過點P₂作P₂M₂⊥AB，垂足為M₂．

∴，即：

∴P₂M₂=2

∵，即：

∴M₂B=8

∴點P₂的坐標為（﹣4，2）

將x=﹣4代入拋物線的解析式得：y=2，

∴點P₂在拋物線上．

由拋物線的對稱性可知：點P₂與點P₄關(guān)于直線x=1對稱，

∴P₄的坐標為（6，2），

當點P₃位于點C處時，兩三角形全等，所以點P₃的坐標為（0，﹣），

綜上所述點P的坐標為：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）時，以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似．