Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，點D是BC的中點，點F在線段AD上，DF＝CD，BF交CA于E點，過點A作DA的垂線交CF的延長線于點G，下列結論：①CF2＝EFBF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AFEC＝EFEB．其中正確的結論有（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)等邊對等角的性質得到∠DCF=∠DFC，繼而得到DF=DB，從而得∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，繼而得到△BCF和△CEF相似，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可判斷①；根據(jù)互余關系可得∠G=∠ACG，再根據(jù)等角對等邊得到AG=AC，然后求出AG=BC，利用“AAS”證明△BCE和△AGF全等，根據(jù)全等三角形的性質得到AG=BC，即可判斷②；根據(jù)角的互余關系求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，再根據(jù)∠ADC的正切值為2可知∠ADC≠60°，繼而得到∠EAF≠∠EFA，從而得AE≠EF，即可判斷③；證明△CEF和△BCE相似，從而得EC2=EFEB，再根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到AF=CE，即可判斷④，由此即可得到答案.

∵DF=CD，

∴∠DCF=∠DFC，

∵AC=BC，點D是BC的中點，

∴DF=DB=DC，

∴∠DBF=∠DFB，

又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，

∴∠BFC=×180°=90°，

∴CF⊥BE，

∴Rt△BCF∽Rt△CEF，

∴，

∴CF2=EFBF，故①正確；

∵AG⊥AD，

∴∠G+∠AFG=90°，

又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，

∴∠G=∠ACG，

∴AG=AC，

∵AC=BC，

∴AG=BC，

又∵∠CBE=∠ACG，

∴∠CBE=∠G，

在△BCE和△AGF中，

，

∴△BCE≌△AGF（AAS），

∴AG=BC，

∵點D是BC的中點，

∴BC=2DC，

∴AG=2DC，故②正確；

根據(jù)角的互余關系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，

∵tan∠ADC=2，

∴∠ADC≠60°，

∵∠DCF=∠DFC，

∴∠FDC≠∠DFC，

∴∠EAF≠∠EFA，

∴AE≠EF，故③錯誤；

∵∠ACB=90°，CF⊥BE，

∴△CEF∽△BCE，

∴，

∴EC2=EFEB，

∵△BCE≌△AGF（已證），

∴AF=EC，

∴AFEC=EFEB，故④正確；

所以，正確的結論有①②④，

故選B.