Question

如圖正方形ABCD，其邊長為4．P是射線AB上的點，且AP=x．將△APD沿過點D的折痕PD折疊，點A的落點記為A′，若△A′DP與正方形ABCD的重疊面積記為S，
（1）若x=6，則S=

 

（2）

1

2

≤S≤1時，則x的取值范圍為（用含x的不等式表示）

 

．

Answer 1

分析：設PD和BC的交點為E，由題意可知，△A′DP與正方形ABCD的重疊部分的面積即是△CDE的面積．
（1）AP=6，AB=4，所以BP=2，又△DCE∽△PBE，即可求出CE的長，從而求出其面積．
（2）分兩種情況討論，①點P在AB之間，②點P在點B的右端，分別寫出這兩種情況下重疊面積的表達式，然后計算即可．

解答：解：（1）設PD和BC的交點為E，如下圖所示：

由題意可知，△A′DP與正方形ABCD的重疊部分的面積即是△CDE的面積．
AP=6，AB=4，∴BP=2，
又△DCE∽△PBE，
∴

BP

CD

=

BE

CE

=

1

2

，
又BE+CE=4，
∴CE=

8

3

，
S_△CDE=

1

2

×

8

3

×4=

16

3

．

（2）當點P在AB之間時，△A′DP與正方形ABCD的重疊面積即是求△A′DP的面積，
∴S=

1

2

×4×x=2x，
又

1

2

≤S≤1，
解得：

1

4

≤x≤

1

2

；
當點P在點B的右端時，△A′DP與正方形ABCD的重疊部分的面積即是△CDE的面積，
∴S=

1

2

×4×

16

x

=

32

x

，
又

1

2

≤S≤1，
解得：32≤x≤64．
故答案為：

16

3

；

1

4

≤x≤

1

2

或32≤x≤64．

點評：本題考查了翻轉(zhuǎn)變換、三角形的面積、直角三角形和正方形的性質(zhì)等知識，有一定難度，需要熟練掌握各部分知識，注意第二問中不要漏解．