Question

已知：x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-（m-2n）x+

1

4

mn=0的兩個實數(shù)根．
（1）若

1

x1

+

1

x2

=2m-4n，且m≠2n，求mn的值；
（2）若n、x₁、x₂均為正數(shù)，且x₁=x₂，求

m

n

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=m-2n，x₁•x₂=

1

4

mn，再變形

1

x1

+

1

x2

，得

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

m-2n

1 4 mn

=2m-4n，化簡即可得到mn的值；
（2）由x₁=x₂，根據(jù)△的意義得到△=0，即（m-2n）²-4×

1

4

mn=0，可得m=4n或m=n，而n、x₁、x₂均為正數(shù)，得到x₁+x₂=m-2n＞0，則m=4n．

解答：解：（1）∵x₁+x₂=m-2n，x₁•x₂=

1

4

mn，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

m-2n

1 4 mn

=2m-4n，
∵m≠2n，
∴mn=2；
（2）∵x₁=x₂，
∴△=0，即（m-2n）²-4×

1

4

mn=0，
∴m²-5mn+4n²=0，
∴（m-4n）（m-n）=0，
∴m=4n或m=n，
∵x₁+x₂=m-2n，n、x₁、x₂均為正數(shù)，
∴m＞2n，
∴m=n不合題意舍去，
∴m=4n，
∴

m

n

=4．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式以及代數(shù)式的變形能力．