Question

16．閱讀下面材料：
一個含有多個字母的式子中，如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對稱式．例如：a+b+c，abc，a²+b²，…
含有兩個字母a，b的對稱式的基本對稱式是a+b和ab，像a²+b²，（a+2）（b+2）等對稱式都可以用a+b，ab表示，例如：a²+b²=（a+b）²-2ab．
請根據(jù)以上材料解決下列問題：
（1）式子①a²b²②a²-b²③$\frac{1}{a}+\frac{1}$中，屬于對稱式的是①③（填序號）；
（2）已知（x+a）（x+b）=x²+mx+n．
①若$m=-2，\;n=\frac{1}{2}$，求對稱式$\frac{a}+\frac{a}$的值；
②若n=-4，直接寫出對稱式$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱式的定義進行判斷；
（2）①先得到a+b=-2，ab=$\frac{1}{2}$，再變形得到$\frac{a}+\frac{a}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$，然后利用整體代入的方法計算；
②根據(jù)分式的性質(zhì)變形得到$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+b²+$\frac{1}{^{2}}$，再利用完全平方公式變形得到（a+b）²-2ab+$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{{a}^{2}^{2}}$，所以原式═$\frac{17}{16}$m²+$\frac{17}{2}$，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可確定$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$的最小值．

解答 解：（1）式子①a²b²②a²-b²③$\frac{1}{a}+\frac{1}$中，屬于對稱式的是 ①③．
故答案為①③；
（2）∵x²+（a+b）x+ab=x²+mx+n
∴a+b=m，ab=n．
①a+b=-2，ab=$\frac{1}{2}$，
$\frac{a}+\frac{a}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=$\frac{{2}^{2}-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=6；
②$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+b²+$\frac{1}{^{2}}$
=（a+b）²-2ab+$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{{a}^{2}^{2}}$
=m²+8+$\frac{{m}^{2}+8}{16}$
=$\frac{17}{16}$m²+$\frac{17}{2}$，
∵$\frac{17}{16}$m²≥0，
∴$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$的最小值為$\frac{17}{2}$．

點評 本題考查了分式的混合運算：分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的；最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．