如圖,經(jīng)過點M(-1,2),N(1,-2)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點.
(1)求b的值.
(2)若OC2=OA•OB,試求拋物線的解析式.
(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PAC的周長最小?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意可知,將點M,N的坐標代入函數(shù)解析式列的方程組,解方程組即可求得b的值;
(2)根據(jù)(1)可求得僅有一個未知系數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2-2x-a,根據(jù)已知得:OC=a,OA=-x1,OB=x2,所以根據(jù)根與系數(shù)的關系,列方程求得a的值,求得二次函數(shù)的解析式;
(3)首先要確定點P的位置,即找到點A關于對稱軸的對稱點B,直線BC與函數(shù)對稱軸的交點即是所求的P點;求得直線BC的解析式即可求得點P的坐標.
解答:解:(1)將M,N兩點的坐標代入拋物線解析式,得

②-①,得
2b=-4
∴b=-2.

(2)由(1)b=-2,a+c=0
所以拋物線的解析式可寫為y=ax2-2x-a
則C(0,-a)
設A(x1,0),B(x2,0)
則x1,x2是方程ax2-2x-a=0的二根
從而x1x2=-1
由所給圖形可知OC=a,OA=-x1,OB=x2
∵OC2=OA•OB
∴a2=-x1x2
∴a2=1
∴a=1(a>0)
∴拋物線解析式為y=x2-2x-1.

(3)在拋物線對稱軸上存在點P,使△PAC的周長最�。�
∵AC長為定值
∴要使△PAC的周長最小,只需PA+PC最小
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是B,由幾何知識知PA+PC=PB+PC,BC與對稱軸的交點為所求點P.
由(2)知B(+1,0),C(0,-1),經(jīng)過點B(+1,0),C(0,-1)的直線為y=(-1)x-1,
當x=1時,y=-2.
即P(1,-2).
點評:此題考查了二次函數(shù)的綜合知識,要注意待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,還要注意根與系數(shù)的關系,解題的關鍵是要注意數(shù)形結合思想的應用.
練習冊系列答案
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(2012•南通)如圖,經(jīng)過點A(0,-4)的拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點,O為坐標原點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將拋物線y=
1
2
x2+bx+c向上平移
7
2
個單位長度,再向左平移m(m>0)個單位長度得到新拋物線,若新拋物線的頂點P在△ABC內(nèi),求m的取值范圍;
(3)設點M在y軸上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的長.
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(2011•遼陽)如圖,⊙O經(jīng)過點B、D、E,BD是⊙O的直徑,∠C=90°,BE平分∠ABC.
(1)試說明直線AC是⊙O的切線;
(2)當AE=4,AD=2時,求⊙O的半徑及BC的長.

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(2013•南通)如圖,經(jīng)過點B(-2,0)的直線y=kx+b與直線y=4x+2相交于點A(-1,-2),則不等式4x+2<kx+b<0的解集為
-2<x<-1
-2<x<-1

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(2012•北碚區(qū)模擬)如圖,經(jīng)過點A(-2,0)的一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)與反比例函數(shù)y=
k
x
(k≠0)的圖象相交于P、Q兩點,過點P作PB⊥x軸于點B.已知tan∠PAB=
3
2
,點B的坐標為(4,0).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)設一次函數(shù)與y軸相交于點C,求四邊形OBPC的面積.
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