Question

如圖，正方形ABCD中，M、N分別為BC和CD邊上的兩點，∠MAN=45°．
（1）求證：BM+DN=MN；
（2）若AB=6，MN=5，求BM的長和△CMN的面積．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AM，BM=DE，∠DAE=∠BAM，然后求出∠EAN=∠MAN=45°，然后利用“邊角邊”證明△AMN和△AEN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=EN，再根據(jù)DE+DN=EN等量代換即可得證；
（2）設(shè)BM=x，表示出CM、DN、CN，然后利用勾股定理列出方程求解得到x，再利用三角形的面積列式計算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE=AM，BM=DE，∠DAE=∠BAM，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠DAE+∠DAN=∠BAM+∠DAN=90°-45°=45°，
∴∠EAN=∠MAN=45°，
在△AMN和△AEN中，

AE=AM ∠EAN=∠MAN AN=AN

，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
∵DE+DN=EN，
∴BM+DN=MN；

（2）解：設(shè)BM=x，則CM=6-x，DN=5-x，CN=6-（5-x）=x+1，
在Rt△MNC中，CN²+CM²=MN²，
即（x+1）²+（6-x）²=5²，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3，
∴BM的長為2或3；
當(dāng)BM=2時，CM=6-2=4，CN=2+1=3，
△CMN的面積=

1

2

×3×4=6，
當(dāng)BM=3時，CM=6-3=3，CN=3+1=4，
△CMN的面積=

1

2

×3×4=6．
綜上所述，BM的長為2或3，△CMN的面積是6．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記正方形的性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．