Question

9．已知點D與點A（0，6），B（0，-4），C（x，y）是平行四邊形的四個頂點，其中x，y滿足3x-4y+12=0，則CD長的最小值為（　�。�

• A． 10
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． $\frac{16}{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 如圖所示，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：對角線AB、CD互相平分，可得CD過線段AB的中點M，即CM=DM，根據(jù)A與B坐標求出M坐標，要求CD的最小值只需求出CM的最小值即可．

解答 解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：對角線AB、CD互相平分，
∴CD過線段AB的中點M，即CM=DM，
∵A（0，6），B（0，-4），
∴M（0，1），
∵點到直線的距離垂線段最短，
∴過M作直線的垂線交直線于點C，此時CM最小，
直線3x-4y+12=0，令x=0得到y(tǒng)=3；令y=0得到x=-4，即F（-4，0），E（0，3），
∴OE=3，OF=4，EM=2，EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=5，
∵△EOF∽△ECM，
∴$\frac{CM}{OF}$=$\frac{EM}{EF}$，即$\frac{CM}{4}$=$\frac{2}{5}$，
解得：CM=$\frac{8}{5}$，
則CD的最小值為$\frac{16}{5}$．
故選C．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．