Question

等邊△ABC，D為△ABC外一點，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射線DM與直線AB相交于點M，射線DN與直線AC相交于點N，
①當點M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時，直接寫出BM、NC、MN之間的數量關系．
②當點M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時，猜想①中的結論還成立嗎？若成立，請證明．
③當點M、N在邊AB、CA的延長線上時，請畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數量關系．

Answer 1

解①BM、NC、MN之間的數量關系 BM+NC=MN．

②猜想：結論仍然成立．
證明：在CN的反向延長線上截取CM₁=BM，連接DM₁．
∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，
∴△DBM≌△DCM₁，
∴DM=DM₁，∠MBD=∠M₁CD，M₁C=BM，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠M₁DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=M1N=M₁C+NC=BM+NC，

③證明：在CN上截取CM₁=BM，連接DM₁．
可證△DBM≌△DCM₁，
∴DM=DM₁，
可證∠CDN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=M₁N，
∴NC-BM=MN．
分析：①由DM=DN，∠MDN=60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質，即可求得BM、NC、MN之間的數量關系 BM+NC=MN；
②在CN的延長線上截取CM₁=BM，連接DM₁．可證△DBM≌△DCM₁，即可得DM=DM₁，易證得∠CDN=∠MDN=60°，則可證得△MDN≌△M₁DN，然后由全等三角形的性質，即可得結論仍然成立；
③首先在CN上截取CM₁=BM，連接DM₁，可證△DBM≌△DCM₁，即可得DM=DM₁，然后證得∠CDN=∠MDN=60°，易證得△MDN≌△M₁DN，則可得NC-BM=MN．
點評：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的作法．