Question

在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足為E．求證：AC=2BE．

Answer 1

證明：過點A作AF∥BC，交BD的延長線于點F，
∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，
∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，
∴AD=DF，AB=AF，
∵AE⊥BD，
∴BE=EF=BF，
∵AC=AD+CD=DF+BD=BF，
∴AC=2BE．
分析：首先過點A作AF∥BC，交BD的延長線于點F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易證得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三線合一，可證得BF=2BE，即可證得AC=2BE．
點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．