Question

（2013•合肥模擬）操作探究題：
（1）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，畫出函數(shù)y=-2x²的圖象；
（2）將拋物線y=-2x²怎樣平移，使得平移后的拋物線滿足：①過原點(diǎn)，②拋物線與x正半軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，其頂點(diǎn)為P，且∠OPQ=90°；并寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在上述直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，OP為半徑畫圓，交兩坐標(biāo)軸于A、B（A點(diǎn)在左邊）兩點(diǎn)，在拋物線（2）上是否存在一點(diǎn)M，使S_△MOA：S_△POB=2：1？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）取函數(shù)圖象上的三個(gè)不同點(diǎn)，通過描點(diǎn)、連線進(jìn)行作圖即可．
（2）由于Q、O關(guān)于新拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即點(diǎn)P在線段OQ的垂直平分線上，首先能判斷出的是△OPQ一定是等腰三角形，若∠OPQ=90°，那么該三角形一定是等腰直角三角形，若設(shè)P（a、a），那么Q（2a，0），利用待定系數(shù)法可確定該函數(shù)的解析式，進(jìn)一步可判斷出平移方案．
（3）首先求出P、A、B的坐標(biāo)，則△MOA、△POB的面積可知，根據(jù)三角形的面積公式即可得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入（2）的拋物線解析式中，可得到M點(diǎn)的完整坐標(biāo)（注意M可能在x軸的上方和下方）．

解答：解：（1）取（0，0）、（1，-2）、（-1，-2）三點(diǎn)，作圖如下：


（2）由題意知：O、Q關(guān)于平移后的拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以頂點(diǎn)P在OQ的垂直平分線上，即△OPQ是等腰三角形；
若∠OPQ=90°，那么△OPQ是等腰三角形，若設(shè)P（a，a），則Q（2a，0）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=-2（x-a）²+a，由于拋物線經(jīng)過Q（2a，0），則：
-2a²+a=0，得：a=

1

2

或a=0；
∴拋物線的解析式為：y=-2（x-

1

2

）²+

1

2

；
平移方案：先將拋物線y=-2x²向右平移

1

2

個(gè)單位，再向上平移

1

2

個(gè)單位．

（3）由題意知：S_△MOA=2S_△POB，且OP=OA=OB；
S_△OPB=

1

2

OB•|y_P|=

1

2

×OB×

1

2

；
S_△MOA=

1

2

OA•|y_M|=

1

2

×OA×|y_M|；
∴|y_M|=2|y_P|=1，
即M點(diǎn)縱坐標(biāo)為：-1或1（利用P點(diǎn)坐標(biāo)得出1不合題意舍去）．
由（2）得拋物線的解析式為：y=-2x²+2x，當(dāng)y=-1時(shí)：
-2x²+2x=-1，
解得：x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

；
∴存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為（

1+ 3

2

，-1）（

1- 3

2

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定及圖象的畫法、函數(shù)圖象的平移、圖形面積的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．