Question

【題目】（2018鄭州模擬）如圖，拋物線過點，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖①，直線l的解析式為，拋物線的對稱軸與線段BC交于點P，過點P作直線l的垂線，垂足為點H，連接OP，求的面積；

（3）把圖①中的直線向下平移4個單位長度得到直線，如圖②，直線與x軸交于點G．點P是四邊形ABCO邊上的一點，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂足分別為點E、F．是否存在點P，使得以P、E、F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點坐標為(0，4)或或(4，6)或．

【解析】

解：(1)∵拋物線過點，

，

解得，

∴拋物線的解析式為；

(2)∵該拋物線的對稱軸為直線

，

，

如解圖①，延長交軸于點，∵直線的解析式為，

均為等腰直角三角形，

，

，

可得．

；

(3)存在滿足條件的點，點坐標為(0，4)或或(4，6)或時，以為頂點的三角形是等腰三角形．

[解法提示]設直線與軸、軸分別交于點、點，則，

假設存在滿足條件的點，

(a)當點在線段上時，如解圖②所示，此時點與點重合，

設，

則，

，

過點作軸于點，

則，

，

在中，

，

若，則，解得，故此種情形不存在；

若，則

，

整理得，

即，不成立，故此種情形不存在；

若，則

，

整理得，即，解得．

；

(b)當點在邊上時，如解圖③，此時，

若，

過點分別作于點，軸于點，

易知為等腰直角三角形，

，

，

∴將代入，

得，

，

，

．

(c)當點在線段上時，如解圖④，

，

∴可求得直線的解析式為

；

聯(lián)立與，解得，．

設，

則，

，

．

與(a)同理，可求得

，

若，則，解得，故此種情形不存在；

若，則

，

整理得，即，解得，符合條件，此時；

若，

則，

整理得，即，解得，故此種情形不存在；

(d)當點在線段上時，如解圖⑤所示．

的夾角為135°，

∴只可能是成立，

∴點在的平分線上．

設此角平分線與軸交于點，過點作直線于點，

則，，

，

解得，

，

又，

∴直線的解析式為：

，

聯(lián)立直線與直線，

求得；

(e)當點在邊上時，此時，等腰三角形不存在；

綜上所述，存在滿足條件的點P，且點坐標為：．