Question

5．已知拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的頂點為M，經(jīng)過原點O且與x軸另一交點為A．
（1）求點A的坐標；
（2）若△AMO為等腰直角三角形，求拋物線C₁的解析式；
（3）現(xiàn)將拋物線C₁繞著點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₂，若拋物線C₂的頂點為N，當b=1，且頂點N在拋物線C₁上時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線經(jīng)過原點可知當x=0時，y=0，由此可得關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出拋物線x軸另一交點坐標；
（2）由△AMO為等腰直角三角形，拋物線的頂點為M，可求出b的值，再把原點坐標（0，0）代入求出a的值，即可求出拋物線C₁的解析式；
（3）由b=1，易求線拋物線C₁的解析式，設N（n，-1），再由點P（m，0）可求出n和m的關(guān)系，當頂點N在拋物線C₁上可把N的坐標代入拋物線即可求出m的值．

解答 解：（1）∵拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）經(jīng)過原點O，
∴0=4a+b，
∴當ax²+4ax+4a+b=0時，則ax²+4ax=0，
解得：x=0或-4，
∴拋物線與x軸另一交點A坐標是（-4，0）；
（2）∵拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b（a≠0，b＞0），（如圖1）
∴頂點M坐標為（-2，b），
∵△AMO為等腰直角三角形，
∴b=2，
∵拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b過原點，
∴a（0+2）²+2=0，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²-2x；
（3）∵b=1，拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b過原點，（如圖2）
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x+2）²+1=-$\frac{1}{4}$x²-x，
設N（n，-1），又因為點P（m，0），
∴n-m=m+2，
∴n=2m+2
即點N的坐標是（2m+2，-1），
∵頂點N在拋物線C₁上，
∴-1=-$\frac{1}{4}$（2m+2+2）²+1，
解得：m=-2+$\sqrt{2}$或-2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．由于拋物線旋轉(zhuǎn)后的形狀不變，故|a|不變，所以求旋轉(zhuǎn)移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點旋轉(zhuǎn)移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮旋轉(zhuǎn)后的頂點坐標，即可求出解析式．