Question

15．如圖，在正方形ABCD中，△BCE是等邊三角形，連接BD交CE于點M，若AB=$\sqrt{3}$，則EM的長為（　�。�

• A． 3-$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$-3
• C． 2-$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 作MN⊥BC于N，則∠MNC=∠MNB=90°，由正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出EC=BC=AB=$\sqrt{3}$，∠CBD=45°，∠MCN=60°，得出△BMN是等腰直角三角形，∠CMN=30°，因此BN=MN，設(shè)CN=x，則CM=2CN=2x，BN=MN=$\sqrt{3}$x，得出BC=$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$，解方程求出CM，即可得出EM的長．

解答 解：作MN⊥BC于N，如圖所示：
則∠MNC=∠MNB=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，△BCE是等邊三角形，
∴EC=BC=AB=$\sqrt{3}$，∠CBD=45°，∠MCN=60°，
∴△BMN是等腰直角三角形，∠CMN=30°，
∴BN=MN，
設(shè)CN=x，則CM=2CN=2x，BN=MN=$\sqrt{3}$x，
∴BC=$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$，
解得：x=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴CM=3-$\sqrt{3}$，
∴EM=CE-CM=$\sqrt{3}$-（3-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-3．
故選：B．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，通過設(shè)未知數(shù)得出方程是解決問題的關(guān)鍵．